ラグランジュの運動方程式 [物理のかぎしっぽ]
というものなのですが，これ，いったい何なのでしょうか． 実は，最終的にはニュートンの運動方程式と同じものなのです． ここでは，ラグランジュの方程式がニュートンの運動方程式と 同等であることを（特殊な場合に限って）簡単に示してみます． あるポテンシャル から力を受ける2次元 平面での質点を考えます． まず，ニュートンの運動方程式ですが という形をしています．ここで は，位置 を時間 で2階微分したもの，すなわち加速度を意味します． また，ドットが一つなら1階微分です．つまり です．この表記はどんな変数の時間微分も簡潔に書けるため便利で，よく使われます． また，左辺の力 ですが，ここではポテンシャルから受ける力を考えているので， ポテンシャル の偏微分 で表せます．したがって，ニュートンの運動方程式(1)は と書いても同じ事です．これを変形してラグランジュの方程式にもって行くことができれば， とりあえずこの状況でニュートンの運動方程式とラグランジュの方程式が同等であることを示せます． 質点の運動エネルギーを ，ポテンシャルエネルギーを と書くことにしますと， これらの差 なる量はラグランジアンと呼ばれます．運動エネルギーはおなじみの で表わせます．これは と の関数です． 関数の変数がなんであるかをハッキリさせたいときは， のように関数名の後に変数を丸括弧で括ってくっつけておきます． ポテンシャルエネルギーの具体的な形は様々ですが， というふうに と の関数であると表すことができます． したがってラグランジアン は です．運動エネルギー は と にのみ依存し， ポテンシャルエネルギー は と にのみ依存している形になっているのがポイントです． このことから，ラグランジアン を , で偏微分したものは を , で偏微分したものに等しくなります．つまり です．同様に，「ラグランジアンを で偏微分したもの」 は「 を で偏微分したもの」に等しくなります． いま示そうとしていることは，ニュートンの運動方程式（再掲） がラグランジュの方程式と同等であるということです． についての運動方程式 に着目してみましょう．式(3)の左辺の というのは を時間 で1階微分したものです． はラグランジアン を で偏微分した